Diagonalisierung und Signatur von Bilinearformen

Dr. Alekseevs Fragerunde(n) LAAG
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Unser Beweis ueber die Existenz einer Orthogonalen Basis ist, so weit ich es verstehe, auch damit vertraeglich, dass q(e_k)=0 fuer ein, oder mehrere k.

Die Algorithmen zur Orthogonalisierung und zur Berechnung der Spur funktionieren aber nur fuer \delta_k \not= 0\;\forall k=\overline{1,n}.

Habe ich das richtig verstanden?

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Jup, so habe ich es auch verstanden.

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Ja, genau so ist es. Eine orthogonale Basis existiert immer, aber das in der Vorlesung bewiesene Gram-Schmidt-Verfahren braucht die Bedingung \delta_k \neq 0. Analog ist es bei der Signatur: man kann sie durch Vorzeichenwechsel schnell bestimmen, wenn alle \delta_k\neq 0.

Wenn aber diese Bedingung nicht erfüllt ist und das Gram-Schmidt-Verfahren nicht funktioniert, kann man dennoch folgende Verfahren anwenden:

  • zur Bestimmung der Orhogonalbasis kann man auch das Verfahren aus dem Existenzbeweis aus der Vorlesung durchgehen. Es braucht zwar Berechnung der orthogonalen Komplemente, aber in niedrigen Dimensionen kriegt man das relativ schnell hin.
  • wenn man nur die Diagonalform (also nur die Signatur) zu bestimmen braucht, kann man das durch simultane Zeilen-und-Spalten-Elementartransformationen machen: die Transformationsregel A\to S^T A S für die Matrix einer Bilinearform bei Basiswechsel sagt ja gerade folgendes: wenn man für S eine Elementarmatrix einsetzt, dann wendet man erst auf Spalten von A die entsprechende Transformation (das entspricht der Umformung A\to AS), und dann die gleiche Transformation auf Zeilen der erhaltenen Matrix (das entspricht der Umformung AS \to S^TA S). Dieses Verfahren sollte in den Präsenzübungen diskutiert werden.
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Wurde es auch :slight_smile:

Habe es jetzt auch gerafft. War nur das groessere Bild, dass noch nicht ganz da war.

Danke Sehr!

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Und wenn ich aus dieser Diagonalform die Orthogonal Basis bestimmen will, so wende ich die gleichen Transformationen auf die ursprüngliche Basis an und bekomme die Basiswechselmatrix.

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Wenn man die Basiswechselmatrix haben will, so ist sie gleich dem Produkt von entsprechenden Elementarmatrizen (d.h. man wendet entsprechende Spaltentransformationen auf die Einheitsmatrix an). Auf die Basis per se kann man ja keine Matrizen anwenden, die Basis ist nur irgendwas geometrisches, was im Vektorraum schwebt :slight_smile:

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Das ergibt sinn :slight_smile:

Dessswegen auch die Einheitsmatrix :slight_smile: (also als stellvertreter fuer alles andere)