Volumenformen im n-dimensionalen Vektorraum hatten wir als Funktionen von V^n nach \mathbb{K} definiert. In euklidischen Vektorräumen haben wir aber auch ein Volumen von beliebig vielen Vektoren betrachtet, zum Beispiel in der Abstandsformel für Volumen. Wie passt das zusammen, wo doch das Volumen über die Volumenformen definiert ist?
In einem n-dimensionalen Vektorraum ohne Zusatzstruktur muss man eine Volumenform festlegen, um das n-dimensionale Volumen messen zu können, und sie gibt keine Volumenmessung auf Untervektorräumen anderer Dimension.
Das Schöne in euklidischen Vektorräumen ist, dass es dort automatisch eine bis auf Vorzeichen kanonische Volumenform gibt, die einer Orthonormalbasis Volumen 1 gibt („das Volumen des Einheitswürfels ist gleich $1$“). Da jeder Untervektorraum eines euklidischen Raumes selbst euklidisch (mit demselben Skalarprodukt) ist, erhält auch jeder Untervektorraum eines euklidischen Raumes eine bis auf Vorzeichen kanonische Volumenform; man erhält also mit dem Skalarprodukt gleich (bis auf Vorzeichen kanonische) Volumenformen auf Untervektorräumen jeder Dimension von 0 bis \dim V.
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Jetzt ist es klar, vielen Dank für diese zügige und hilfreiche Erklärung.