In der aktuellen Hausaufgabe bei Übung 30 ist eine Lineare Abbildung durch die Darstellungsmatrix zwischen den Basen definiert. Kann mir jemand erklären oder ein kleines Beispiel geben wie man von der Darstellungsmatrix auf die Lineare Abbildung kommt?
Danke 
Wenn man aus der Matrix die explizite Form der Abbildung herleiten will, kann man das durch „Rückwinden“ der Definition machen. Zum Beispiel: wenn die Abbildungsmatrix
M^B_C(f) =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
ist, dann gilt nach ihrer Definition:
f(b_1) = c_1 + 4c_2,\; f(b_2) = 2c_1 + 5c_2,\; f(b_3) = 3c_1+6c_2.
Also gilt für einen Vektor v = \lambda_1 b_1 + \lambda_2 b_2 + \lambda _3 b_3\in V
f(v) = \lambda_1f(b_1) + \lambda_2 f(b_2) +\lambda_3 f(b_3) = \lambda_1(c_1 + 4c_2) + \lambda_2(2c_1 + 5c_2) + \lambda_3(3c_1+6c_2)=\\=(1\cdot \lambda_1 + 2\cdot \lambda_2 + 3\cdot \lambda_3)c_1 + (4\cdot \lambda_1 + 5\cdot \lambda_2 + 6\cdot \lambda_3)c_2\in W.
Das ist dann die gewünschte explizite Form der linearen Abbildung.
Wenn man sich die Koeffizienten dieser Ausdrücke genauer anschaut, kann man hier folgendes merken: wenn wir w = f(v) = \mu_1 c_1 + \mu_2 c_2 bezeichnen, dann gilt
\begin{pmatrix}
\mu_1\\\mu_2
\end{pmatrix} = M^B_C(f)
\begin{pmatrix}
\lambda_1\\\lambda_2 \\\lambda_3
\end{pmatrix}.
Das ist kein Zufall, sondern direkte Konsequenz folgender Formel für die Abbildungsmatrix
M^B_C(f) = \varphi^{-1}_C\circ f\circ \varphi_B
aus der Vorlesung: die Matrix M^B_C(f) angewandt auf die Koordinatenspalte \lambda des Vektors v ergibt die Koordinatenspalte \mu des Bildvektors f(v): \varphi_B^{-1} macht aus der Koordinatenspalte \lambda den entsprechenden Vektor v, dann macht daraus die Abbildung f den Bildvektor f(v), und schließlich macht die Abbildung \varphi_C^{-1} aus dem Vektor f(v) seine Koordinatenspalte \mu.
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