Sitze gerade an AnaG HA.
Wie zeige ich den am besten die Äquivalenz von p- und q-Normen?
wir hatten ja in der Vorlesung in Bsp 8.9 die äquivalenz für p-Norm und Maximums-Norm bewiesen.
Geez. Mein Beweis ist da ziemlich haesslich.
Wir haben: |x|_p und |x|_q
Ueberlege dir mal wie du |x|_p norm zuerst kleiner als |x|_\infty machst. Denn |x|_p \geq |x|_\infty\; \forall p \geq 1
Danach ueberlege dir wie du die Hoeldersche Ungleichung anwendest damit |x|_p\geq |x|_q
Bedenke das
\sum^n_{i=1}{|x_i\cdot y_i|} auch als \sum^n_{i=1}{|x_i\cdot 1|} interpretiert werden kann.
naja ich habe mir das beispiel von schuricht nochmal angeschaut und das ganze kann man meiner meinung nach sehr gut zeigen mit der hölderungleichung, wenn man 47a) benutzt 
( also habe ich für p > q, c|x|_p \leq |x|_q \leq C|x|_q für c,C \in \mathbb{R}, dann mit hölder hübsch die c,C bestimmt. Aber ich denke, dass hast du auch schon bemerkt, ich finde es nur irgendwie zu einfach als Lösung.
C||x||_q sollte eigentlich C||x||_p sein, denke ich
naja wenn p \to \infty dann haben wir die Maximumsnorm, welche die kleinste Norm auf \mathbb{R}^n ist. nun habe ich aber p > q also dachte ich, dass dann q-Norm die “größere Norm” auf \mathbb{R}^n ist.
Irgendwie noch nicht so recht schlüssig. 