Nun ein fuer alle mal :).
M^{B'}_{B} ist die Basiswechselmatrix von:
-
B zu B'
oder: - B' zu B (Ich zoege diese konvention vor, da sie der Definition der Abbildungsmatrix M^{B'}_{B}(id_V) entschpraeche)
Wenn mich nicht alles täuscht 2. Schon aus dem von dir genannten grund
Wir schreiben sie aber immer andersherum 
Die Basiswechselmatrix von der „alten“ Basis B zur „neuen“ Basis B' ist per Definition die Matrix, welche als Spalten die Koordinaten von den Vektoren aus B' bezüglich der Basis B hat (wir drücken die „neue“ Basis durch die „alte“ aus).
Dementsprechend ist diese Basiswechselmatrix gleich M^{B'}_{B}(\mathrm{id}_V), was wir kurz durch M^{B'}_B bezeichnet haben, weil in M^{B'}_{B}(\mathrm{id}_V) per Definition der Abbildungsmatrix genau die Koordinatenspalten der Bilder von B' unter \mathrm{id} ausgedrückt in der Basis B stehen.
Das heißt im Bezug auf den ursprünglichen Post: die richtige Antwort ist die erste:
M^{B'}_B = M^{B'}_B(\mathrm{id}) ist die Basiswechselmatrix von B zu B',
weil es eben der Konvention mit der Abbildungmatrix entspricht (d.h. die Begründung war in der zweiten Variante schon richtig, bloß sie führt eigentlich gerade zur ersten Variante).
Kurze Mnemonik: in der Notation der Basiswechselmatrix steht die neue Basis oben, und die alte unten (wir evolutionieren von unten nach oben 
).
Vorsicht: in der Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung steht die Basis des Ausgangsraumes oben, und des Zielraumes unten, was aber eben genau die obige Konvention für Basiswechsel erzwingt (wie gerade erklärt).
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Geezus ich hab vielleicht nen Denkfehler…
Aber druecken wir nicht die alte Basis durch die neue aus?
Sei B=(b_1,\cdots, b'_n) die “alte” Basis B=(b'_1,\cdots, b'_n) in V. Sei C die Matrix deren Spalten die neue Basis bezueglich der alten darstellt.
Sei v\in V damit V=\sum_i\lambda_ib_i=\sum_i\lambda'_i\sum_jC_{ji}b_j=\sum_jb_j\sum_iC_{ji}\lambda'_i\implies \lambda=C\lambda' Also transformiert C B'\rightarrow B.
Ist das nicht genau andersherum?
Wir hatte das ja auch bei der Basis aus Eigenvektoren. Man bekommt die Koordinatenspalten der Eigenvektoren bez. der alten basis. Von rechts multiplizieren wir also die Matrix aus Eigenvektoren und transformieren also die neue basis in die alte…
Nein, aus dieser Formel folgt, dass C die Koordinaten bezüglich B' in die Koordinaten bezüglich B überführt, was richtig ist: die Basiswechselmatrix drückt eintragsweise die neue Basis durch die alte aus, und überführt die neuen Koordinaten in die alten (das war auch der Grund dafür, dass die Vektoren „kontravariant“ heißen). Eine Basis in eine andere überführen kann nur eine lineare Abbildung, und darum geht es hier erst mal nicht.
Am Einfachsten ist es, wenn man es sich in Dimension 1 vorstellt: man hat eine Gerade und einen Basisvektor b darauf. Wenn man jetzt einen neuen Basisvektor b' = 2b wählt, ist die Basiswechselmatrix gleich M^{B'}_B = \begin{pmatrix} 2\end{pmatrix}. Die Koordinatenspalte des Vektors b bezüglich der alten Basis ist \lambda = \begin{pmatrix} 1\end{pmatrix}, und bezüglich der neuen \begin{pmatrix} 1/2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1\end{pmatrix} (man hat ja die „Längeneinheit“ verdoppelt, also haben sich die Zahlenwerte der Längen halbiert).
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Ich habe einfach den Begriff falsch verstanden.
Ich dachte die Basiswechselmatrix wandelt \lambda'=M^{B'}_B\cdot \lambda abder tatsaechlich beschreiben sie es so: \lambda'=(M^{B'}_B)^{-1}\cdot \lambda.
Jetzt ists klar!
Danke!
PS: habe es auch in den Aufzeichnungen gefunden. Hatte das uebersehen und/oder nicht fuer voll genommen 