Duerfen wir annehmen, dass \dim\mathbb{R}^n=n gilt.
Man kann das ueber die Einheitsbasis zeigen, aber ich bin mir dessen nicht sicher.
\dim \mathbb K^n = n folgt sofort aus der Tatsache, dass e_1,\dots,e_n eine Basis ist, und dies haben wir tatsächlich in der Vorlesung gezeigt. Hier noch kurz die Wiederholung der Argumentation:
- e_1,\dots,e_n erzeugen \mathbb K^n, denn jeder Vektor x=(x_1,\dots,x_n)^T\in \mathbb K^n ist gleich einer Linearkombination
x = \sum\limits_{i=1}^n x_ie_i;
- e_1,\dots,e_n sind auch linear unabhängig, weil aus
0 = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_ie_i = (\lambda_1,\dots,\lambda_n)^T
sofort durch Inspizieren der Koordinateneinträge folgt, dass \lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0.
Fazit: ja, \dim \mathbb K^n = n kann man als bekannte Tatsache verwenden (ich werde es sicherheitshalber auch noch mal in der Vorlesung wiederholen).
Herzlichen Dank für diese ausführliche Antwort.