Eindeutigkeit für GDGL höherer Ordnung

Mathe Analysis
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Test

Im Theorem zur Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für den Fall u^{(n)}=f(u^{(n-1)}, ... , u', u, x) muss für die Eindeutigkeit der Lösung eine lokale Lipschitz-Bedingung von f(w,x) bezüglich w erfüllt sein. (Theorem 9 Abschnitt 36.4)

Mir stellt sich nun einerseits die Frage, was genau w ist und andererseits wie die Lipschitz-Bedingung zu interpretieren ist, sowohl im Walter als auch im Heuser wird man diesbezüglich leider nicht fündig.

Handelt es sich bei w einfach nur um (u^{(n-1)}, ... , u', u)?
Müsste man mit dieser Annahme jeweils überprüfen ob f(u^{(n-1)}, (.)) L-stetig bzgl. u^{(n-1)}, … , f(u', (.)) L-stetig bzgl. u' und f(u, (.)) bzgl. u ist?

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Ja.

Man muss ueberpruefen, ob f(w, x) die Lipsch. Bedingung bez. w erfuellt. (Einfach die u^{(n-1)} durch entsprechende w_n ersetzen. Es ist naemlich hinreichend fuer die Gesammte lipsch. Bedinngung, dass f die lipsch. Bed. erfuellt.

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Sei

\begin{pmatrix}w_1 \\ \vdots \\w_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}u \\ \vdots \\u^{(n-1)} \end{pmatrix}

Damit

\begin{pmatrix}w_1' \\ \vdots \\w_n' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}u' \\ \vdots \\u^{(n)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}w_2 \\ \vdots \\f(w,t) \end{pmatrix}

Lipschitz Bedingung:

\left|\begin{pmatrix}w_2 -v_2\\ \vdots \\f(w,t)-f(v,t) \end{pmatrix}\right| \leq \left|\begin{pmatrix}w_2 -v_2\\ \vdots \\L ||w-v||\end{pmatrix}\right| \leq \left|\begin{pmatrix}w_1-v_1 \\ w_2 -v_2\\ \vdots \\ w_n - v_n\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\L ||w-v||\\\end{pmatrix} \right| \\ \leq ||w-v|| + L \cdot ||w-v|| = (L + 1) \cdot ||w-v||

Wir schummeln eine Dimension ein :).

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Erstmal dankeschön, das sieht sehr gut aus!

Bedeutet das, dass wir eine einzige Lipschitz-Konstante brauchen, die für alle Zeilen gilt (obwohl sie nur in der letzten Zeile explizit auftaucht)?
Gibt es vielleicht einen Zusammenhang zu den möglichen Lipschitz-Bedingungen für die einzelnen Ableitungen, sodass man dies als äquivalentes Kriterium nutzen könnte oder ist dieser Ansatz vollkommen nutzlos?

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Mir fällt gerade noch ein: vermutlich würde es mit der hinreichenden Bedingung für L-Stetigkeit aus dem 2. Semester auch genügen, einfach die Norm von w' zu berechnen und diese auf Beschränktheit zu überprüfen, oder?

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Alle Ableitungen ausser der hoechsten sind nicht sehr wichtig. Die bedingung muss an f gestellt werden. Also betrachte f=f(w,t) und nutze die ueblichen Mittel (also z.B. Ableitung). (So verstehe ich es).

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Ich verstehe glaube ich noch nicht, wie die Bedingung konkret überprüft werden kann. Natürlich muss f(w, t) L-stetig bezüglich w sein, allerdings erschließt sich mir nicht ganz wieso dies nur die höchste Ableitung betrifft. Angenommen diese taucht nicht auf, wäre die Lösung dann immer eindeutig, auch wenn die zweithöchste Ableitung nicht lipschitzstetig wäre?

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Das AWP hat die Form u^{(n)}=f((u', u'', \dots), t). Es ergibt sich also immer die in meiner Antwort diskutierte Form. Ich glaube ich verstehe dein Problem nicht :stuck_out_tongue:

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Hier müsste es natürlich (w_n')_w=f_w heißen und damit glaube ich, wir versuchen gerade in unterschiedliche Richtungen zu argumentieren um das gleiche zu sagen.

Meinst du hier mit der höchsten Ableitung die n-te oder die (n-1)-te Ableitung?

Abgesehen davon auf jeden Fall wie üblich Schrankensatz anwenden und das Problem ist gelöst, richtig?

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Genau so ist es. Rezept: u, u^{(k)} durch w_i ersetzen und Lipsch. Bedinung fuer f pruefen.