Komplex Konjugierte Eigenwerte

Haben wir schon bewiesen, das komplex konjugierte Eigenwerte komplex konjugierte Eigenvektoren habe?

In dieser Form nicht, weil wir komplexe Konjugation auf der Komplexifizierung gar nicht eingeführt haben. Allerdings folgt aus der Proposition über zweidimensionalen invarianten Unterraum sofort folgende Aussage: wenn u = v + iw der Eigenvektor von f_{\mathbb C} zum Eigenwert \alpha + i\beta ist mit \beta \neq 0, so gilt:

f_{\mathbb C}(v-iw) = f(v) - if(w) = \alpha v - \beta w -i(\beta v + \alpha w) = (\alpha - i\beta)(v-iw),

was im Wesentlichen das Gewünschte ist.

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Ein Netter beweis laeuft auch fuer Matrizen ohne Imaginaere Anteile:
A\cdot v = \lambda\cdot v \implies \overline{A\cdot v} = \overline{\lambda\cdot v} \implies \bar A\cdot \bar v = \bar \lambda \cdot \bar v \overset{A\text{ reell} \implies \bar A = A}{\implies} A\cdot \bar v = \bar \lambda \cdot \bar v.

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Ja, selbstverständlich. Diese Aussage gibt es auch in der Sprache der linearen Abbildungen:

wenn f\colon V\to V ein reeller Endormorphismus ist, und f_{\mathbb C}\colon V_{\mathbb C}\to V_{\mathbb C} seine Komplexifizierung ist, so gilt: wenn \lambda ein Eigenwert von f_{\mathbb C} ist, so ist \overline\lambda auch ein Eigenwert zum “komplex konjugierten” Eigenvektor.

Der im Kontext unserer Vorlesung effizienteste Beweis (unter Benutzung der Aussage über zweidimensionale invariante Unterräume) steht im Wesentlichen oben.

Wenn man aber den Beweis dieser Aussage „wie für Matrizen“ durchführen möchte, braucht man eben noch einiges zu tun. Erst mal beobachtet man, dass es auf der Komplexifizierung V_{\mathbb C} auch die komplexe Konjugation gibt:

\overline{\phantom{v}}\colon V_{\mathbb C}\to V_{\mathbb C},
v+iw \mapsto v-iw,

die offensichtlich \mathbb R-linear ist, und dann vergewissert man sich, dass

\overline{\lambda\cdot v} = \overline{\lambda}\cdot \overline{v}

und

\overline{f_{\mathbb C}(v)} = f_{\mathbb C}(\overline v),

wenn f_{\mathbb C} die Komplexifizierung einer reell-linearen Abbildung f ist.

Dann folgt aus f_{\mathbb C}(v) = \lambda v:

f_{\mathbb C}(\overline{v}) = \overline{f_{\mathbb C}(v)} =\overline{\lambda v} = \overline \lambda\cdot \overline v,

also ist \overline v der Eigenvektor zum Eigenwert \overline \lambda.

Man sieht hier, dass der Beweis für lineare Abbildungen etwas mehr Vorbereitung braucht, und das ist wieder mal kein Zufall, sondern ist von Bedeutung z.B. für Matrizenräume, die die Struktur der Typen von Elementarteilchen beschreiben (ich hoffe, am Mittwoch mehr darüber erzählen zu können).

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Danke Sehr!

By the way: die A_{614} ist wirklich gemein! Die Eigenvektoren in \mathbb{C} aufzuschreiben…

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Na ja, ein Teil der Aufgabe ist es eben, diese Berechnung effizient zu organisieren :slight_smile:

^^
Wenn man die Nerven hat :stuck_out_tongue: