ich rechne gerade zur Vorbereitung die Übungen nochmal durch. Leider habe ich nicht für alle Übungsaufgaben die Lösungen mitgeschrieben, sodass ich bei einigen Aufgaben nicht wirklich weis wie ich vorgehen soll. zB bei der Aufgabe 2.2.Gebundene Zustände der elektromagnetichen und schwachen Wechselwirkung
Bei der ersten Teilaufgabe habe ich mir zunächst das Potential mal aufgemalt und überlegt, dass man für die Ortsunschärfe in eine Dimension quasi 2 mal den Radius nehmen kann. Wenn ich die Relation dann aber nach r umstelle, habe ich ja trotzdem noch eine Ungleichung mit dem größer gleich Zeichen. Nehme ich dann einfach das Minimum an? Und wenn ja wieso?
Bei der 2. Teilaufgabe verstehe ich nicht was mit der nichtrelativistischen Beziehung für die kinetische Energie gemeint ist. Meine herangehensweise wäre jetzt gewesen, dass wenn dE/dp = 0 ist, dann ist dT/dp = dV/dp. Ist diese Relation gemeint? Ansonsten benötige ich ja selbst wenn ich die Ruheenergie als 0 annehme immernoch die Gesamtenenergie, um vom Potential auf die kinetische Energie und damit auf beta zu schließen oder nicht? Oder kann ich die gesamtenenergie irgendwie daraus schließen, dass es um den Grundzustand geht?
Bei der dritten Teilaufgabe soll man die nach r umgestellte Funktion dann für zwei Massen modifizieren. Hier weis ich gar nicht wie ich herangehen soll. Wo haben wir denn vorher unsere Gleichung auf eine Masse festgelegt? Sollte die Gleichung für zwei Massen dann nicht die gleiche sein, also für beide Massen gleich gelten?
Bei der 4. Teilaufgabe weis ich auch nicht wie ich herangehen soll, um ehrlich zu sein.
Die restlichen Teilaufgaben bauen teilweise auf die vorherigen auf, demnach komme ich da auch nicht wirklich voran ohne 1-4 verstanden zu haben.
in der erstenTeilaufgabe soll r komplett eliminiert und durch p ersetzt werden. Dazu soll die Heisenberg’sche Unbestimmtheitsrelation herangezogen werden. Die Ortsunschärfe ist eigentlich nicht 2r, sondern sqrt(<r²>), aber das ist Nebensache. Wichtig ist zu erkennen, wie das mittlere r mit dem mittleren p zusammenhängt (mit einem Gleichheitszeichen!). In der Formel darf jedenfalls nach Umformung kein r mehr vorkommen, sondern nur noch p („Eliminieren Sie r“)
Sie brauchen die nicht-relativistische Beziehung für T( p )=p²/2m, die Ihnen ja gut bekannt sein sollte. (In einer späteren Teilaufgabe soll dann auch alternativ der relativistische Ausdruck für E0+Ekin verwendet werden.)
Die Ruheenergie ist bei Elektronen nicht Null. Sie ist E0=mc² mit m als Masse des Elektrons. Bei der nicht-relativistischen Betrachtung spielt sie dann aber bei dE/dp keine Rolle, wie Sie sehen werden. Und die benötigte Formel für die Gesamtenergie steht im ersten Satz der Aufgabe. Hier verstehe ich Ihr Problem nicht wirklich. Sie müssen einfach die drei bekannten Terme addieren.
Das ist in der Tat so formuliert, dass man nachdenken muss. Das Potenzial in der Aufgabe (1) entsteht, wenn das verursachende Teilchen sehr schwer ist, beispielsweise das Proton im Wasserstoffatom. dort betrachtet man also nur das Elektron in einem solchen Zentralpotenzial. Sind im Gegensatz dazu zwei Teilchen ähnlicher oder gleicher Masse aneinander gebunden, so wissen Sie aus der theoretischen Mechanik, dass dann die Bewegung um den gemeinsamen Schwerpunkt auf ein 1-Teilchenproblem mit einem Zentralpotenzial reduziert werden kann, in dem man eine effektive „reduzierte Masse“ verwenden muss (zB Positronium). Das ist hier gemeint.
Hm okay. also nehme ich für \Delta r = \sqrt{<r^2>} (steht ja auch da^^) und für \Delta p = \sqrt{<p^2>}. Kann ich das so nutzen weil <A>^2 = 0 für x und p? Die Form aus QM1 war ja \Delta A = \sqrt{<A^2>-<A>^2}.
Dann ist die Unschärfe Relation ja trotzdem noch \Delta r \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}. Wie kommt da die Gleichheit zustande?
Hier wollte ich eigentlich nur wissen, ob mein Ansatz korrekt ist, weil nicht die erwartete Bindungsradius rauskam. T(p) = \frac{p^2}{2m} habe ich ebenfalls verwendet. Was meinen Sie mit dem aufaddieren der 3 bekannten Terme? Wenn ich E_0 + T(p) + V(p) rechne (das sind die 3 bekannten Terme oder?) dann fehlt mir ja trotzdem die Information über die andere Seite vom Gleichheitszeichen?
Mein Ansatz war \frac{dE}{dp}= \frac{dT}{dp} + \frac{dV}{dp} = 0 mit \frac{dT}{dp} = \frac{p}{m}, die Ableitung von V entsprechend aus der ersten Teilaufgabe und dann \frac{dT}{dp} = - \frac{dV}{dp} nach der gesuchten Größe umstellen? Geht das auch?
Ah okay, ich habe nicht gesehen, dass das Potential durch die Masse entsteht, sondern bin wegen dem Wasserstoff Beispiel gleich von einem elektromagnetischen Potential ausgegangen.
Ja das hilft mir weiter, auch wenn ich noch nicht verstanden habe woher das Gleichheitszeichen in der ersten Teilaufgabe kommt. Ansonsten denke ich, dass ich es jetzt hinbekomme.
Danke Sehr
In reinen Quantenzuständen gilt das Gleichheitszeichen (siehe z.B. http://zfn.mpdl.mpg.de/data/Reihe_A/52/ZNA-1997-52a-0049.pdf ). Wir Teilchenphysiker*innen verwenden immer das Gleichheitszeichen. Außerdem definieren wir die Unschärfen so, dass der Faktor 2 wegfällt, also \Delta p \Delta x = \hbar = 1 und \Delta E \Delta t = \Gamma \tau = \hbar = 1. Dann kommt immer das Richtige raus
Ich verstehe Ihr Problem leider immmernoch nicht. Sie kommen selbst korrekt auf dT/dp + dV/dp = 0. Und wenn Sie nun Heisenberg verwenden, bekommen Sie V(p) = -\alpha p und dann steht das Ergebnis schon da.
Das Potenzial entsteht nicht durch die Masse, sondern durch eine elektrische Ladung Z=1, die im Wasserstoff eben das Proton besitzt. Die Protonmasse ist gegenüber der Elektronmasse aber so groß, dass man das als ein 1-Körperproblem des Elektrons in einem festen Potenzial behandeln kann und das Proton einfach ruht. Das war gemeint, aber nicht gut in der Aufgabenstellung erklärt, gebe ich zu.
