Ich hoffe es ist okay wenn ich so viele Fragen zu den Übungen stelle, aber mir fehlen die Musterlösungen zu den meisten.
In der Aufgabe 2.1 des 3. Übungsblattes sollen wir ja sicherlich feststellen, dass nur bei den Positronen die Werte zwischen den über die relativistische Kinematik bestimmten Energieunterschiede und den über die Bethe-Bloch-Formel bestimmten Energieunterschieden übereinstimmen und bei den Protonen nicht und damit gezeigt wird, dass es sich bei dem Experiment nicht um ein Proton handeln kann sondern um ein leichteres Teilchen handeln muss.
Bei mir allerdings stimmen bei keinem von beiden die Werte auch nur ansatzweise überein, daher denke ich, dass ich irgendwo falsche Werte eingesetzt habe oder einen grundsätzlichen Fehler im Rechenweg habe, den ich selbst nicht finde. Ich würde also meinen Weg präsentieren und die Frage ist, wo sich der (oder die) Fehler eingeschlichen hat/haben.
Über die Formel aus der Vorlesung p(GeV) = 0.3 |z| r(m) B(T) habe ich zunächst aus den Radien den Impuls des Teilchens vor und nach der Platte berechnet.
Für r(m) hab ich die gegebenen Radien in Meter umgerechnet und eingesetzt und |z| = 1 sowie B(T) = 1.5T.
Damit bekomme ich die Impulse für vorher p_v = 0.063 GeV und nachher p_n = 0.0225 GeV.
Anschließend habe ich dann mit \beta\gamma = \frac{p}{mc} und \gamma= \sqrt{(\beta\gamma)^2 +1} die beiden Faktoren der relativistischen Kinematik ausgerechnet.
Dabei bin ich mir das erste mal unsicher, ob die Werte für die Massen, welche ich eingesetzt habe, richtig sind. Wir dividieren auch immer durch mc, aber in unserem Einheiten system haben wir c=1 gesetzt, sodass wir nun bei \frac{p}{m} eine Masse in GeV brauchen, da \beta\gamma einheitenlos ist. Für das Positron habe ich m_{e^+} = 0.511 MeV gefunden, für das Proton m_p = 938 MeV.
Wenn ich das Zusammen mit den Impulsen für vor und nach dem Durchdringen einsetze erhalte ich:
- Positron:
- vorher: \beta\gamma = 123,23 ; \gamma = 123,234 ; \beta = 0,999967
- nachher: \beta\gamma = 44,03 ; \gamma = 44,04 ; \beta = 0,99977
- Proton:
- vorher: \beta\gamma = 0.067 ; \gamma = 1,002 ; \beta = 0.067
- nachher: \beta\gamma = 0,024 ; \gamma = 1,00028 ; \beta = 0,024
Für den Energieunterschied habe ich dann jeweils \gamma vor und nach dem Durchdringen in die Formel \Delta E = (\gamma_n - \gamma_v) mc^2 eingesetzt. (Division von E=\gamma m c^2 für davor und danach). Für mc^2 habe ich jeweils die Ruheenergien bzw. die Massen wie oben eingesetzt.
Die Energieunterschiede sind dementsprechen:
\Delta E_{e^+} = -40,46609 MeV
\Delta E_{p} = -1.61336MeV
Wenn ich für den Vergleich die gegebenen und zusammen gegoogelten Werte is die Bethe-Bloch-Formel einsetze sieht diese wie folgt aus:
-\frac{dE}{dx} = 0,3 \frac{MeV cm^2}{g}Q^2\rho\frac{Z}{A}\frac{1}{\beta^2}(ln(\frac{2m_ec^2(\beta\gamma)^2}{I}-\beta^2 - \delta(\beta\gamma)) \\
-\frac{dE}{dx} = 0,3 \frac{MeV cm^2}{g}\cdot (1)^2\cdot11,34\frac{g}{cm^3} \frac{82}{207}\frac{1}{\beta^2}(ln(\frac{2\cdot(0.511)\cdot(\beta\gamma)^2}{10^{-6}MeV \cdot 82}-\beta^2)
Also Q=1; Z=82 und A=207. Die restlichen Größen habe ich aus der Aufgabenstellung übernommen.
Nach dem Einsetzen der Werte für jeweils Positron und Proton erhalte ich:
(-\frac{dE}{dx})_{e^+} = -12 \frac{MeV}{cm}
(-\frac{dE}{dx})_{p} = -1557,02 \frac{MeV}{cm}
Dh für die 6mm Platte in der Aufgabe erhalte ich über die Bethe-Block Formel:
\Delta E_{e^+} = -21.23 MeV
\Delta E_{p} = -516.77MeV
Die beiden Ergebnisse passen ja nur bedingt zu denen aus dem der kinematischen Relativistik oder reicht es, dass bei den Positronen zumindest die Größenordnung stimmt?