Übung 3 Aufgabe 2.1. Die Entdeckung des Positrons

Ich hoffe es ist okay wenn ich so viele Fragen zu den Übungen stelle, aber mir fehlen die Musterlösungen zu den meisten.

In der Aufgabe 2.1 des 3. Übungsblattes sollen wir ja sicherlich feststellen, dass nur bei den Positronen die Werte zwischen den über die relativistische Kinematik bestimmten Energieunterschiede und den über die Bethe-Bloch-Formel bestimmten Energieunterschieden übereinstimmen und bei den Protonen nicht und damit gezeigt wird, dass es sich bei dem Experiment nicht um ein Proton handeln kann sondern um ein leichteres Teilchen handeln muss.
Bei mir allerdings stimmen bei keinem von beiden die Werte auch nur ansatzweise überein, daher denke ich, dass ich irgendwo falsche Werte eingesetzt habe oder einen grundsätzlichen Fehler im Rechenweg habe, den ich selbst nicht finde. Ich würde also meinen Weg präsentieren und die Frage ist, wo sich der (oder die) Fehler eingeschlichen hat/haben.

Über die Formel aus der Vorlesung p(GeV) = 0.3 |z| r(m) B(T) habe ich zunächst aus den Radien den Impuls des Teilchens vor und nach der Platte berechnet.
Für r(m) hab ich die gegebenen Radien in Meter umgerechnet und eingesetzt und |z| = 1 sowie B(T) = 1.5T.
Damit bekomme ich die Impulse für vorher p_v = 0.063 GeV und nachher p_n = 0.0225 GeV.
Anschließend habe ich dann mit \beta\gamma = \frac{p}{mc} und \gamma= \sqrt{(\beta\gamma)^2 +1} die beiden Faktoren der relativistischen Kinematik ausgerechnet.
Dabei bin ich mir das erste mal unsicher, ob die Werte für die Massen, welche ich eingesetzt habe, richtig sind. Wir dividieren auch immer durch mc, aber in unserem Einheiten system haben wir c=1 gesetzt, sodass wir nun bei \frac{p}{m} eine Masse in GeV brauchen, da \beta\gamma einheitenlos ist. Für das Positron habe ich m_{e^+} = 0.511 MeV gefunden, für das Proton m_p = 938 MeV.
Wenn ich das Zusammen mit den Impulsen für vor und nach dem Durchdringen einsetze erhalte ich:

  • Positron:
    • vorher: \beta\gamma = 123,23 ; \gamma = 123,234 ; \beta = 0,999967
    • nachher: \beta\gamma = 44,03 ; \gamma = 44,04 ; \beta = 0,99977
  • Proton:
    • vorher: \beta\gamma = 0.067 ; \gamma = 1,002 ; \beta = 0.067
    • nachher: \beta\gamma = 0,024 ; \gamma = 1,00028 ; \beta = 0,024

Für den Energieunterschied habe ich dann jeweils \gamma vor und nach dem Durchdringen in die Formel \Delta E = (\gamma_n - \gamma_v) mc^2 eingesetzt. (Division von E=\gamma m c^2 für davor und danach). Für mc^2 habe ich jeweils die Ruheenergien bzw. die Massen wie oben eingesetzt.
Die Energieunterschiede sind dementsprechen:
\Delta E_{e^+} = -40,46609 MeV
\Delta E_{p} = -1.61336MeV

Wenn ich für den Vergleich die gegebenen und zusammen gegoogelten Werte is die Bethe-Bloch-Formel einsetze sieht diese wie folgt aus:
-\frac{dE}{dx} = 0,3 \frac{MeV cm^2}{g}Q^2\rho\frac{Z}{A}\frac{1}{\beta^2}(ln(\frac{2m_ec^2(\beta\gamma)^2}{I}-\beta^2 - \delta(\beta\gamma)) \\ -\frac{dE}{dx} = 0,3 \frac{MeV cm^2}{g}\cdot (1)^2\cdot11,34\frac{g}{cm^3} \frac{82}{207}\frac{1}{\beta^2}(ln(\frac{2\cdot(0.511)\cdot(\beta\gamma)^2}{10^{-6}MeV \cdot 82}-\beta^2)
Also Q=1; Z=82 und A=207. Die restlichen Größen habe ich aus der Aufgabenstellung übernommen.
Nach dem Einsetzen der Werte für jeweils Positron und Proton erhalte ich:
(-\frac{dE}{dx})_{e^+} = -12 \frac{MeV}{cm}
(-\frac{dE}{dx})_{p} = -1557,02 \frac{MeV}{cm}
Dh für die 6mm Platte in der Aufgabe erhalte ich über die Bethe-Block Formel:
\Delta E_{e^+} = -21.23 MeV
\Delta E_{p} = -516.77MeV
Die beiden Ergebnisse passen ja nur bedingt zu denen aus dem der kinematischen Relativistik oder reicht es, dass bei den Positronen zumindest die Größenordnung stimmt?

Lieber Bengt,
Das ist alles richtig gerechnet. Es folgt also, dass das Teilchen keinesfalls ein Proton sein kann, weil dieses Proton niemals hätte die Blei-Platte durchdringen können. Es wäre gerade mal 10-20µm in die Platte eingedrungen.
Ein Positron dagegen verliert ca 21 MeV Energie durch Ionisation (dE/dx). Das heißt, mit einer anfänglichen kinetischen Energie von über 60 MeV durchdringt es die Platte. Bei 60 MeV ist man aber jenseits der „kritischen Energie“ bei der der Energieverlist durch Bremsstrahlung denjenigen durch Ionisation überwiegt (siehe Vorlesung). Es ist also plausibel, dass die zu 40,5 MeV fehlenden 19,5 MeV Energieverlust durch Bremsstrahlung passiert ist. Genau kann man das nicht ausrechnen, weil Bremstrahlung als Einzelprozess viel mehr statistisch variiert als dE/dx, das weit mehr als 10.000 Ionisationsprozesse pro cm hat und daher kaum statistische Fluktuation besitzt.

HIlft das weiter?

herzliche Grüße
Michael Kobel

PS: Für alle, die die Aufgabe suchen: Sie war aus dem Übungsblatt 4, nicht 3.

Ah alles klar.
Ja das beantwortet meine Frage!
Vielen Dank

1 „Gefällt mir“