Wir haben zuletzt aufgeschrieben, dass wir C^T\cdot D^T=\mathbb{1}_n rechnen. Warum transponieren wir?
Vielleicht wird das noch klar 
tl;dr: wir haben zurzeit noch etwas zu wenig Theorie aufgebaut, um effizient über inverse Matrizen zu reden, daher mussten wir die Inverse ad hoc konstruieren. Nächste Woche werden wir sehen, dass wir auch ohne Transponieren auskommen
Wir haben bei Basiswechsel festgestellt, dass man mit der Basiswechselmatrix C „alte“ Koordinaten \lambda durch „neue“ Koordinaten \lambda' so ausdrücken kann:
\lambda = C\lambda'.
Wir würden eigentlich an dieser Stelle gerne mit der inversen Matrix von C multiplizieren und erhalten
\lambda' = C^{-1}\lambda,
aber laut unserer offiziellen Definition ist die inverse Matrix C^{-1} eine Matrix mit C^{-1}C = C C^{-1} = 1_n, und es ist an dieser Stelle erst mal leider gar nicht klar, dass sie existiert.
Daher haben wir provisorisch ein „Ausweichmanöver” gemacht und gesagt: es reicht uns erst mal, eine Matrix D zu finden mit DC = 1_n (dann gilt nämlich nach Multiplikation mit D auch: \lambda'= D\lambda).
Die Gleichung DC = 1_n (mit bekannter Matrix C und unbekannter Matrix D) möchten wir nun nach D lösen, indem wir sie als n LGS auffassen, die die Zeilen von D bestimmen. Da wir aber die LGS in der Form Ax = b aufschreiben mit Spalten x und b und nicht in der Form zA = w mit Zeilen z und w, haben wir an dieser Stelle transponiert, um die uns bekannte Matrix C von links wirken zu lassen und die LGS in der gewöhnlichen Form zu bekommen.
Nach dem Transponieren haben wir also die Matrixgleichung C^TD^T = 1_n erhalten, und diese haben wir dann nach D^T gelöst, indem wir sie als n LGS der Form C^T d'_i = e_i aufgefasst haben (hier sind d_i' die transponierten Zeilen von D = Spalten von D^T).
Wenn wir wüssten, dass aus CD = 1_n auch DC = 1_n folgt, hätten wir gleich die LGS Cd_i = e_i auf die Spalten von D aufstellen und lösen können. Im weiteren Verlauf der Vorlesung (hoffentlich nächsten Dienstag oder Mittwoch) werden wir sehen, dass dies tatsächlich der Fall ist, also gilt D = C^{-1}, und man hätte dieses Inverses auch ohne Transponieren finden können. Das wird aber ein bisschen mehr Theorie brauchen.
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Vielen Dank fuer diese ausfuehrliche Antwort. Das macht es klarer! Danke