Translationsoperator

[hiro98]

Soetwas wie \exp(-ip\cdot x) gilt ja immer nur fuer "Transformation in der Naehe der 1, wie ich in Literatur ueber Lie Gruppen las (ohne es wirklich zu verstehen, falls die Transformation analytisch ist, kann man sie durch die Potenzreihe darstellen…).

Bedeutet das, dass man bei Benutzung des Translationsoperators eine gewisse lokalitaet vorraussetzt, oder sieht man einfach ueber diese Bedingung hinweg?

Und ich nehme an, dass sich die ganze Geschichte auf das WW Bild bezieht (wenn man sich die Zeitkomponente anschaut, kommt ja nur die kin. Energie vor).

[kilian]

Solche Transformationen heißen „exponential map“ und sind nicht nur nahe der \mathbb{1} gültig,
z.B. lassen sich so die Rotationsmatrizen für Rotationen um beliebige Winkel erzeugen.
Die Idee ist, dass man die Transformation aus vielen „kleinen Schritten“ aufbaut. Diese „kleinen Schritte“ sind Transformationen nahe der \mathbb{1}, welche sich als lineare Abbildung ergeben.
Um mal bei den Rotationen zu bleiben; eine Rotation einer Größe f(\varphi) um einen kleinen Winkel d\varphi kann man schreiben als:

f(\varphi) \rightarrow f(\varphi + d\varphi) = f(\phi) + \dfrac{df}{d\varphi}(\varphi) \cdot d\varphi

z.B. für \vec{r}(\varphi)=r\cdot \textbf{e}_r erhält man \vec{r}(\varphi + d\varphi) = \vec{r}(\varphi) + r\cdot\textbf{e}_{\varphi} d\varphi \equiv (1 + g d\varphi)\vec{r}(\varphi)
dabei nennt man dann g die Erzeugende der Transformation - das ist gerade die Transformation nahe der eins -
In diesem Fall hat man z.B.

g = \left( \begin{array} &0& -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right)

Die Idee ist nun (Mathematiker bitte wegschauen), dass man für einen endlichen Winkel \alpha diese Transformation „n-mal“ anwendet, sodass n\cdot d\varphi = \alpha.

f(\varphi + \alpha) = \lim \limits_{n \to \infty}{(1 + gd\varphi)^n}f(\varphi)= \lim \limits_{n \to \infty}{(1 + g\dfrac{\alpha}{n})^n}f(\varphi)=e^{g\cdot\alpha}f(\varphi)

Für das Beispiel oben erhält man die Transformation auf die gleiche Art:

\psi(x) \rightarrow \psi(x-dx) = \psi(x) - \dfrac{d\psi}{dx} dx = (1 - i\hat{p}dx)\psi(x)

Also g = -i\hat{p}, deswegen wird \hat{p} auch Erzeugende der Translation (oder so ähnlich) genannt.

Übrigens: mit der Matrix von oben sollte dann die Drehmatrix für Drehungen in der XY-Ebene rauskommen. Die Drehmatrizen um die anderen Achsen erhält man, indem man die Erzeugende entsprechend Transformiert, d.h. für Drehung in der YZ-Ebene erhält man die Erzeugende über (-\textbf{e}_z, \textbf{e}_y, \textbf{e}_x)^{-1}g(-\textbf{e}_z, \textbf{e}_y, \textbf{e}_x) usw…
Ich hab mich ursprünglich damit beschäftigt, weil man auch die Lorentz-Transformationen auf diese Weise erhalten kann. Genau das gleiche wie oben, bloß das man die Minkowski-Metrik für die Transformation benutzen muss. Die Lorentz-boosts entsprechen dann „Drehungen“ in der Xt- Yt- und Zt-Ebene

[hiro98]

Danke fuer die ausfuerliche Antwort. Das macht Dinge klarer!

Nahe der 1 schliesst das mit ein.
Worauf ich hinaus wollte ist, das die trafo analytisch sein muss .
\exp(-i\hat{p}x) ist immer eine Translation: aber sind alle tranlsationen so darstellbar? In diesem Fall ein tentative ja. Die Spiegelungen der O(3) lassen sich so aber z.B. nicht erfassen.

[Maximilian]

skript.pdf (559,9 KB)
Kannst dir ja auch das Kapitel zu Lie-Gruppen ansehen.
Dort steht zum Beispiel das eine Lie Gruppe durch exp ihrer Lie Algebra erzeugt wird wenn sie zusammenhängend ist (O 3 ist das nicht). Weil die Lie Algebra nur die lokale Struktur der Gruppe sieht.